Творчі вправи на уроках геометрії 10-11 кл

Творчі вправи на уроках геометрії 10-11 кл

10 клас

Тема: Основні поняття стереометрії. Аксіоми стереометрії.

Закінчи речення:

-    У стереометрії основними фігурами (поняттями) є...

- Через пряму і точку, що не належить її, можна провести ...

- Через три точки, що не належать одній прямій, можна провести...

- Якщо дві точки прямої належать площині, то і вся ...

- Точки А,В,С лежать у кожній з двох різних площин, то ці точки лежать ...

- Дві прямі в просторі не можуть перетинатися більше ніж...

- Всі прямі, які перетинають дві дані паралельні прямі, лежать в ...

- Скільки площин можна провести через:

1)    Одну точку   - _________________;

2)    Дві точки - ____________________;

3)    Три точки - ____________________.

-  Яка б не була площина, існують…,які належать цій площині, і точки які …  …їй.

- Дві прямі , …третій, … .

Тема: Взаємне розміщення прямих у просторі, прямої і площини.

Закінчи речення:

-Прямі перетинаються, якщо вони мають тільки ...

-Прямі паралельні, якщо вони не ...

-Прямі мимобіжні, якщо вони не ...

- Прямі збігаються, якщо вони мають принаймні ...

-Через будь-яку точку простору, яка не лежить на даній прямі, можна провести пряму паралельну...

-Якщо дві прямі, паралельні третій прямі …

-Якщо одна з двох паралельних прямих перетинає площину, то …

- Якщо пряма, яка належить площині, паралельна якій-небудь прямій цієї площини, то …

- Через точку А поза площиною α, можна провести ...

- Скільки площин можна провести через вершину С трикутника АВС паралельно АВ? …

- Через три точки простору, проведено дві різні площини. Що можна сказати про взаємне розміщення цих точок?...

- Ребро куба 12 см. Чому дорівнює відстань між протилежними його ребрами?

- Одна сторона квадрата лежить на площині. Як розміщена, відносно площини, протилежна їй сторона квадрата?

Тема: Взаємне розміщення площин у просторі.

Чи вірите ви, що….

- Якщо дві прямі, які перетинаються, однієї площини, відповідно паралельні двом прямим другої площини, то ці площини перетинаються?

- Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну?

- Що площини у просторі можуть: перетинатися, збігатися або бути паралельними?

- Якщо дві паралельні площини перетнути третьою, то прямі їхнього перетину перетинаються?

-      Паралельні площини, перетинаючи дві паралельні прямі, відтинають на них рівні відрізки?

- Дві площини, паралельні третій площині - паралельні між собою?

-  Площина, яка перетинає одну з двох паралельних площин, перетинає й другу площину?

-   Квадрат при паралельному проекцію ванні є трапецією?

- Прямолінійні відрізки фігури зображаються на площині рисунка відрізками?

-  Паралельні відрізки фігури зображаються на площині рисунка паралельними відрізками?

Тема: Перпендикулярність прямих і площин у просторі

Чи вірите ви, що….

·       - Через довільну точку прямої у просторі, можна провести перпендикулярну до неї пряму?

·       - Через будь-яку точку простору, що не належить прямій, можна провести пряму не перпендикулярну до даної?

·       - Якщо точка А знаходиться на відстані 1см від деякої площини і на відстані  см від точки В, що належить цій площині, то проекція відрізка на площину 4 см?

·       - Точка віддалена від усіх вершин правильного трикутника на 5 дм. Медіана цього трикутника  дорівнює 6 дм. Відстань від даної точки до площини дорівнює  дм. Чи так?

·       - Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині та перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини?

·       - Через будь-яку точку А можна провести пряму, паралельну до даної площини?

·       - Через задану точку на площині можна провести одну і тільки одну пряму, перпендикулярну до даної площини?

·       - Через задану точку, що не належить площині можна провести одну і тільки одну пряму, перпендикулярну до даної площини?

·      -  Довжина перпендикуляра менша за довжину будь-якої похилої?

·       - Якщо одна з двох площин проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні.

·      -  Три площини попарно перпендикулярні. Чи прямі їхнього перетину також попарно перпендикулярні?

·       - З точки А до площини α проведено дві похилі АВ=15см, АС=13см. Проекція похилої АВ дорівнює 9 см, а проекція похилої АС дорівнює 5 см. Чи так це?

Тема: Кути і відстані у просторі.

Встав пропущені слова:

- Кут між перпендикулярними прямими дорівнює …..

- Кутом між мимобіжними прямими називається кут між ……

- Кутом між прямою і площиною називається кут між цією прямою і її ……..

- Двогранним кутом називається фігура, утворена двома півплощинами разом ……

- Кут між площинами не залежить від …….

- Рівні похилі, проведені до однієї площини з однієї точки, взятої поза площиною, утворюють з площиною …….    Кути.

- Відстань від точки до площини дорівнює довжині перпендикуляра, проведеного з цієї    ………

- Відстань між паралельними площинами дорівнює довжині спільного …….., проведеного з якої-небудь точки ……….

- Дві мимобіжні прямі мають спільний перпендикуляр ……….

- Відстань між мимобіжними прямими називається ……….

- Площа ортогональної проекції довільного многокутника на площину дорівнює  ……… площі самого многокутника на ……    ……….    між площиною ……… і площиною ……

Тема: Узагальнення і систематизація вивченого

Знайди відповідь і запиши її результати.

- Дано дві прямі, які перетинаються в точці А. Доведіть, що всі прямі, які перетинають обидві дані прямі і не проходять через точку А, лежать в одній площині.

- Доведіть, що середини сторін просторового чотирикутника є вершинами паралелограма.

-Точка О – центр квадрата зі стороною 4 см, АО – пряма, перпендикулярна до площини квадрата, АО = 2см. Знайдіть відстань від точки А до вершин квадрата.

А) 4см;     Б) 8см;    В) 4см;    Г) 3см;    Д) 8см.

- Кінці ребер куба , які виходять з однієї вершини, сполучено відрізками. Площа трикутника, який утворився при цьому, дорівнює  см².

- Знайдіть довжину ребра куба:

А) 2см;      Б) 4см      В) 2см;        Г) 2 см;     Д) 3 см.

- З даної точки до площини проведено дві похилі, різниця довжин яких дорівнює 6 см, їхні проекції на цю площину дорівнюють 27 см і 15 см. Знайдіть відстань від даної точки до площини.

А) 36см;          Б) 39см;     В) 33см;      Г) 30 см;        Д) 42 см.

11 клас

Тема: Прямокутна система координат.

Дай правильну відповідь:

- Дано точки А( 2;3;4 ), В ( 0;1;3), С ( 0;0;5), Д (1;3;0).

Які з цих точок лежать:

·       У площині хy?

·       У площині уz?

·       На осі z?

- Знайти координати середини відрізка MN, якщо М (0;2;4),

N (2;4;6)?

- Яка довжина відрізка АВ, якщо А (0;2;3), В (0;5;6)?

-  На якій координатній осі лежить середина відрізка MN, якщо М ( 2;4; -6), N ( -2;2;6)?

- Якій координатній площині належить середина відрізка АВ, якщо: А (2;1;4), В ( 4;0; -4)?

-  На якій відстані від початку координат розміщені точки

А ( 3;0;0), В (2; -2;1), С (0;0; -5)?

- Дано точки А ( 1;2;3), В (0; -1; 2), С (1; 0; -3). Знайдіть точки, симетричні даним відносно координатних площин ху, уz, xz?

- Ребро куба дорівнює 1. Запишіть координати вершин такого куба, якщо одна з вершин куба лежить у початку координат.

Тема: Паралельне перенесення.

Чи правильно, що:

-      Паралельне перенесення є рухом?

-   Два паралельних перенесення, виконаних послідовно, дають паралельне перенесення?

-    В результаті паралельного перенесення точки переміщаються на одну й ту саму відстань?

-  У результаті паралельного перенесення кожна пряма переходить у паралельну їй пряму (або в себе)?

-   Які б не були точки В і С, існує єдине паралельне перенесення, в результаті якого точка В переходить у точку С?

-   В результаті паралельного перенесення в просторі кожна площина переходить або в себе, або у паралельну їй площину?

-    Паралельне перенесення у просторі задають формулами

x` = x +a, y` = y +b, z` = z +c.

-   Перетворення обернене до паралельного перенесення, є також паралельним перенесенням?

  

Тема: Вектори  в просторі

Чи віриш ти, що:

-  Величини бувають скалярні та векторні. Значення скалярних величин – числа, значення векторних величин – вектори?

- Два вектори називаються рівними, якщо їхні відповідні координати рівні?

- Рівним векторам відповідають рівні за довжиною й протилежно напрямлені відрізки?

- Модулем вектора називають довжину напрямленого відрізка, що зображає його.

- Вектори     і  колінеарні тільки тоді, коли точки О,А і В лежать на одній прямій?

- Вектори , ,  компланарні тільки за умови. Що точки О, А, В, С лежать в різних площинах?

- Дано точки А (1;3;2), В (0;2;0), С ( 4;5;4), Д (-3; -2;5). Знайдіть координати вектора    ,  ?

- Що  =  – , якщо  (2; -3;5),  (2;4;3),  (4;1;8).

 

Тема: Операції над векторами та їх властивості.

Закінчи речення:

- Сумою векторів  (x₁, y₁, z₁) і  (x_2, y_2, z₂) називають вектор

  +  = …

- Властивості суми векторів.

·     + … = …

·    … + ( + …) =  (а + … ) +

-  Геометрично суму двох векторів простору можна знаходити, користуючись правилом …

- Суму трьох не компланарних векторів можна знаходити за правилом …

-  Суму кількох векторів можна знаходити за правилом …

- Два вектори, сума яких дорівнює нульовому вектору, називають …

- Різницею векторів  і  називається такий вектор , який у …

- Якщо  = (x,y,z), то l = …

- Вектор  = (x₁,y₁,z₁) і  = (x₂,y₂,z₂) колінеарні тоді і тільки тоді, коли їхні відповідні координати ...

- Вектори ₁ = (1;0;0), ₂ = (0;1;0), ₃ = (0;0;1) називають …

  

Тема: Скалярний добуток векторів. Кут між векторами.

Знайди і виправ помилку.

-  Кутом між двома ненульовими векторами називають кут між відповідними їм напрямленими відрізками, які виходять з двох точок.

- Кут між протилежно напрямленими векторами дорівнює 180˚, а між спів напрямленими – 90˚.

- Скалярним добутком двох векторів називається сума довжин цих векторів на косинус кута між ними.

-  Скалярний добуток векторів  = (x₁,y₁,z₁) і  = (x₂,y₂,z₂) дорівнює x₁ y₁ + y₂*x₂ + z₁*z₂.

- Два вектори будуть перпендикулярні тільки тоді коли їх скалярний добуток дорівнює 1.

- Знайди кут між двома одиничними векторами, якщо їхній скалярний добуток дорівнює ½?

-  Який знак має скалярний добуток двох векторів, якщо кут між ними тупий?

- Укажіть вид кута між векторами, якщо їхній скалярний добуток додатний.

  

                          Тема: Многогранні кути.

Встав пропущені слова.

-  Двогранним кутом називається фігура, утворена двома …… із спільною ….., що їх ……

- Півплощини, які утворюють двогранний кут називають ……, а пряму, що їх обмежує, - …… двогранного кута.

-   Двогранні кути можуть бути ….. і …..

-  У тригранному куті кожний плоский кут менший від ….., за такої умови сума всіх трьох плоских кутів тригранного кута більша від …… і менша від …….

-   Многогранний кут розбиває простір на дві області …. та ….

-    Многогранний кут називається опуклим, якщо він розміщений з ….. боку від …. кожної його……

-        В опуклого многогранного кута сума плоских кутів менша від …..

  

Тема: Многогранники. Призма.

Дай відповідь на поставлене запитання.

-  Призмою називається многогранник, у якого дві грані - … … , а решта граней - …

- Назвіть вершини призми,

- Її грані;

- Основи,

- Висоту,

- Діагоналі.

-  Чи рівні діагональні перерізи правильної чотирикутної призми?

-  Чому дорівнює міра двогранного кута при ребрі основи правильної трикутної призми?

- Чому дорівнює площа поверхні куба з ребром 3 см?

-    Чому дорівнює площа бічної поверхні правильної шестикутної призми усі ребра якої дорівнюють 2 см?

-     Чому дорівнює площа поверхні прямокутного паралелепіпеда виміри якого 4см, 3см, 10см.

-   Чому дорівнюють діагоналі прямокутного паралелепіпеда, виміри якого 3см, 4см, 8см.

-     Яку форму може мати переріз правильної чотирикутної призми площиною, паралельною основі?

-       Чи може мати призма чотири грані?

-    Чи існує похилий паралелепіпед, у якого чотири грані є прямокутниками?

-    Чи є призма правильною, якщо рівні всі її бічні ребра?

Тема: Многогранники. Піраміда. Зрізана піраміда.

   Знайди відповідь і запиши його результат.

-  Яку геометричну фігуру називають пірамідою?

-  Побудуй малюнок правильної трикутної піраміди.

Назви її бічні грані, основу, вершину, бічні ребра та висоту піраміди.

- Чи правильно, що:

- Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний многокутник, а його центр збігається з основою висоти піраміди.

- Чи всі бічні грані правильної піраміди – рівні рівнобедрені трикутники?

- Чи правильно, що висоту бічної грані правильної піраміди, проведену з її вершини, називають апофемою?

-    Знайди і виправ помилку    S_{біч.пір.} =¼ Pһ.

- Яку піраміду називають зрізаною? Побудуй її малюнок.

- Чому дорівнює повна поверхня правильної чотирикутної піраміди, якщо сторона основи 4см, а висота бічної грані 6см. 

Тема: Тіла обертання. Циліндр.

        Встав пропущенні слова:

-  Циліндром називається  ….., утворене обертанням … навколо його ….

-  Назвати основи циліндра, радіус циліндра,

висоту циліндра. 

-  Кожна січна площина. Перпендикулярна до осі циліндра, перетинає його по …., який дорівнює ….

-  Площина, яка проходить через твірну циліндра і не має з ним інших   спільних …, називається … площиною.

-  Якщо, твірні прямого …. …. перпендикулярні до площини ….., його називають ….. циліндром.

Розв’яжи задачі і запиши їх відповіді.

- Знайдіть площину бічної поверхні циліндра, висота якого дорівнює 10см, а радіус основи 5 см.

- Радіус циліндра √3, а висота h. Знайдіть діагональ основного перерізу циліндра.

- Радіус основи циліндра дорівнює 2 см, а діагональ осьового перерізу 5 см. Знайдіть висоту циліндра.

Тема: Тіла обертання. Конус.

Чи віриш ти, що:

-      Конусом називається тіло, утворене обертанням прямокутного трикутника навколо його катета?

-         Якщо прямокутний трикутник обертається навколо катета, його гіпотенуза опише бічну поверхню?

-           Тіло утворене обертанням прямокутної трапеції навколо меншої її бічної сторони?

Відповіси на запитання:

-            Назви висоту конуса, вершину, радіус основи, твірну,

кут між твірною і площиною основи.

-             Запиши формулу для обчислення бічної та повної поверхонь конуса.

Розв’яжи задачі.

-             Висота конуса 8 м, радіус 6. Знайди твірну.

      -       Твірна конуса утворює з площиною основи кут 30˚, а висота дорівнює 5 см. Знайти бічну поверхню конуса.

  

Тема: Круглі тіла. Куля та сфера.

Закінчи речення.

- Кулею називається тіло, утворене обертанням …

- Сферою називається фігура утворена обертанням...

- Будь-який відрізок, що сполучає центр кулі з якою-небудь точкою його поверхні називають …

- Відрізок, який сполучає дві точки поверхні кулі та проходить через центр, - …

- Площина, яка проходить через діаметр кулі, - …

- Переріз кулі діаметральною площиною називають …

- Дотична до кулі площина, перпендикулярна до …… , проведеного в …

- Площина, яка має з кулею одну спільну точку називається …

- Частина кулі, яку відтинає площина називається …

- Частина кулі, яка міститься між двома паралельними січними площинами, називається  …

Розв’яжи задачу і запиши відповідь.

1. Знайдіть площу великого круга кулі та довжину екватора, якщо її радіус 3м.

2. Діаметр кулі 28 см, а площина віддалена від її центра на 18 см. Чи має ця площа з кулею спільні точки?

3. Обчисли поверхню кулі радіуса 5 см.

  

Тема: Об’єм та площі поверхонь геометричних тіл.

Виправ помилку:

-   Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює V = a * a* b.

-   Об’єм прямої призми дорівнює добутку площі її основи на твірну.

V = S_осн. L

-   Об’єм циліндра дорівнює добутку площі його основи на твірну.

-   Об’єм піраміди дорівнює одній другій добутку площі її основи на висоту.

-   Об’єм конуса дорівнює одній третині добутку площі його основи на твірну.

-   Об’єм кулі радіуса r дорівнює 4/3

Розв’яжи задачі.

-   Знайдіть об’єм конуса, висота якого дорівнює 3м, а твірна утворює з площиною основи кут 45˚.

-   Знайдіть об’єм правильної чотирикутної піраміди, якщо її бічне ребро дорівнює b і нахилене до площини основи під кутом 45˚.

-   Об’єм кулі дорівнює      πR³ Чому дорівнює площа її поверхні?